Question

【题目】已知数列{an}满足 ， ，n∈N* ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）是否存在互不相等的正整数m，s，t，使m，s，t成等差数列，且am﹣1，as﹣1，at﹣1成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m，s，t；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）证明：因为 ，

所以 ．

所以 ．

因为 ，则 ．

所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列

（2）解：由（1）知， ，

所以 ．

假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，

则有

由 与 ，

得 ．

即3m+t+2×3m+2×3t=32s+4×3s．

因为m+t=2s，所以3m+3t=2×3s．

因为 ，当且仅当m=t时等号成立，

这与m，s，t互不相等矛盾．

所以不存在互不相等的正整数m，s，t满足条件

【解析】（1）由 ，变形可得 ，从而可证明数列 为等比数列；（2）假设存在互不相等的正整数m，s，t满足条件，则有 ，代入条件，利用基本不等式，即可得出结论．
【考点精析】关于本题考查的等比关系的确定和数列的通项公式，需要了解等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能得出正确答案．