Question

10．如图，已知直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA₁=4，D是棱AA₁上的任一点，M，N分别为AB，BC₁的中点．
（1）求证：MN∥平面DCC₁；
（2）试确定点D的位置，使得DC₁⊥平面DBC．

Answer 1

分析 （1）连接AC₁，由中位线定理即可得出MN∥AC₁，故而MN∥平面DCC₁；
（2）由BC⊥平面ACC₁A₁可得BC⊥C₁D，故当C₁D⊥CD时有DC₁⊥平面DBC，设AD=x，根据勾股定理列方程解出x，从而确定D的位置．

解答 证明：（1）连接AC₁，
∵M，N分别是AB，BC₁的中点，
∴MN∥AC₁，
又MN?平面ACC₁A₁，AC₁?平面ACC₁A₁，
∴MN∥平面ACC₁A₁．
即MN∥平面DCC₁．
（2）∵CC₁⊥平面ABC，BC?平面ABC，
∴CC₁⊥BC，
又AC⊥BC，AC?平面ACC₁A₁，CC₁?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，∵C₁D?平面ACC₁A₁，
∴BC⊥C₁D．
故当C₁D⊥CD时，C₁D⊥平面BCD．
设AD=x，则A₁D=4-x，CD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{C}^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+4}$，C₁D=$\sqrt{{A}_{1}{D}^{2}+{A}_{1}{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{（4-x）^{2}+4}$．
又CC₁=4，
∴CD²+C₁D²=CC₁²，即x²+4+（4-x）²+4=16．解得x=2．
∴D为AA₁中点时，C₁D⊥平面BCD．

点评 本题考查了线面平行的判定，线面垂直的判定，属于中档题．