Question

6．当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，4^x＜log_ax（a＞0且a≠1），则a的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$）
• B． （$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，1）
• C． （1，$\sqrt{2}$）
• D． （$\sqrt{2}$，2）

Answer 1

分析 当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，作出函数y=4^x的图象，由不等式4^x＜log_ax恒成立，知y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方，由此利用数形结合思想能求出a的取值范围．

解答 解：当0＜x≤$\frac{1}{2}$时，函数y=4^x的图象如右图所示：
若不等式4^x＜log_ax恒成立，
则y=log_ax的图象恒在y=4^x的图象的上方（如图中虚线所示）
∵y=log_ax的图象与y=4^x的图象交于（$\frac{1}{2}$，2）点时，a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故虚线所示的y=log_ax的图象对应的底数a应满足$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜a＜1
故选：B．

点评 本题考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．