Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n满足a_n+1=S_n+n+1（n∈N^*），且a₂，a₃+2，a₄成等差数列．
（1）求a₁；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）证明：

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…

an

an+1

＜

n

2

（n∈N^*）．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件分别求出a₂，a₃，a₄，由a₂，a₃+2，a₄成等差数列，能求出a₁．
（2）由已知条件求出a_n+1+1=2（a_n+1），由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（3）由

ak

ak+1

＜

1

2

，推导出

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．再由

ak

ak+1

＞

n

2

-

1

3

，能证明

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…

an

an+1

＜

n

2

（n∈N^*）．

解答： 解：（1）由an+1=Sn+n+1(n∈N*)，
得a₂=S₁+2=a₁+2，
a₃=S₂+3=a₁+a₂+3=2a₁+5，
a₄=S₃+4=a₁+a₂+a₃+4=4a₁+11…（1分）
∵a₂，a₃+2，a₄成等差数列，
∴2（a₃+2）=a₂+a₄2（2a₁+7）=a₁+2+4a₁+11，…（2分）
解得a₁=1．…（3分）
（2）当n≥2（n∈N^*），
a_n+1=S_n+n+1，a_n=S_n-1+n，
两式相减得a_n+1-a_n=S_n+n+1-（S_n-1+n）=a_n+1，
即a_n+1=2a_n+1…（4分）
∴a_n+1+1=2（a_n+1），…（5分）
又a₂=S₁+2=a₁+2=3，a₂+1=2（a₁+1）…（6分）
∴{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，2为公比的等比数列．…（7分）
∴an+1=2n．即　an=2n-1(n∈N*)．…（8分）
（3）证明：∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

2k-1

2(2k- 1 2 )

＜

1

2

，k=1，2，…，n，…（9分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

．…（10分）
∵

ak

ak+1

=

2k-1

2k+1-1

=

1

2

-

1

2(2k+1-1)

=

1

2

-

1

3.2k+2k-2

≥

1

2

-

1

3

.

1

2k

，k=1，2，…，n，…（11分）
∴

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

≥

n

2

-

1

3

(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n

2

-

1

3

(1-

1

2n

)＞

n

2

-

1

3

，…（13分）
∴

n

2

-

1

3

＜

a1

a2

+

a2

a3

+…+

an

an+1

＜

n

2

(n∈N*)．…（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意放缩法的合理运用．