Question

在如图所示的几何体中，面CDEF为正方形，面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（Ⅰ）求证：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）线段AC上是否存在点M，使EA∥平面FDM？证明你的结论．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用线面垂直的判定定理即可证明；
（Ⅱ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM．利用正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理即可证明．

解答： 证明：（Ⅰ）在△ABC中，
∵AC=

3

，AB=2，BC=1，∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（Ⅱ）线段AC上存在点M，且M为AC中点时，有EA∥平面FDM，证明如下：
连接CE与DF交于点N，连接MN．
由 CDEF为正方形，得N为CE中点．
∴EA∥MN．
∵MN?平面FDM，EA?平面FDM，
∴EA∥平面FDM．
所以线段AC上存在点M，使得EA∥平面FDM成立．

点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，熟练掌握勾股定理的逆定理、正方形的性质、三角形的中位线定理、线面平行的判定定理是解题的关键．