Question

等差数列{a_n}中，a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，S_n为其前n项和．
（1）求S_n的最小值，指出S_n取最小时的n值
（2）数列b_n=

3

an+66

，求数列{b_nb_n+1}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,数列的函数特性

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件得a₉=-36，a₁₇=-12，从而求出Sn=-60n+

n(n-1)

2

×3，利用配方法能求出n=20或n=21时，S_n最小值为S₂₀=S₂₁=-630．
（2）bn=

3

an+66

=

1

n+1

，b_nb_n+1=

1

n+1

-

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，由此利用裂项求和法能求出数列{b_nb_n+1}的前n项和．

解答： 解：（1）由a₁₆+a₁₇+a₁₈=a₉=-36，
得a₉=-36，a₁₇=-12，
∴d=

a17-a9

17-9

=3．
首项a₁=a₉-8d=-60，a_n=3n-63．…（2分）
Sn=-60n+

n(n-1)

2

×3
=

3

2

(n-

41

2

)2-

3

2

×

412

2

，n∈N^*，…（4分）
∴n=20或n=21时，S_n最小，最小值为S₂₀=S₂₁=-630．…（6分）
（2）bn=

3

an+66

=

1

n+1

，
b_nb_n+1=

1

n+1

-

1

n+2

=

1

n+1

-

1

n+2

，…（10分）
设数列{b_nb_n+1}的前n项和为T_n．
则Tn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=

n

2n+4

．…（12分）

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．