Question

设集合A={y|y=-x²+6x-3（0≤x≤4）}，B={x|

x-3

x+4

≤0}，已知C=A∩B．
（1）求C；
（2）若m，n∈C，求方程x²+2mx-n²+1=0有两正实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,交集及其运算

专题：概率与统计

分析：（1）求出几何A，B，根据集合的基本运算即可得到结论．
（2）求出方程x²+2mx-n²+1=0有两正实根的等价条件，利用线性规划的知识即可求出对应的概率．

解答： 解：（1）A={y|y=-x²+6x-3（0≤x≤4）}={y|-3≤y≤6}，B={x|

x-3

x+4

≤0}={x|-4＜x≤3}，
则C=A∩B={x|-3≤x≤3}．
（2）若m，n∈C，则

-3≤m≤3 -3≤n≤3

，对应的图形为矩形，面积S=6×6=36．
若方程x²+2mx-n²+1=0有两正实根，则

△=4m2-4(1-n2)≥0 x1x2=1-n2＞0 x1+x2=-2m＞0

，
即

m2+n2≥1 -1＜n＜1 m＜0

，作出对应的平面区域如图：
对应阴影部分的面积S=2×3-

1

2

×π×12=6-

π

2

，
则方程x²+2mx-n²+1=0有两正实根的概率P=

6- π 2

36

=

1

6

-

π

72

．

点评：本题主要考查几何的基本运算，几何概型的概率求解，利用线性规划的知识，结合数形结合是解决本题的关键．