Question

如图，点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的面对角线BC′上运动．给出下列三个命题：
①A′P与CD一定是异面直线；
②A′P⊥B′D；
③三棱锥A-D′PC的体积不变；
其中正确的是

 

（填上所有正确命题的序号）．

Answer 1

考点：空间中直线与直线之间的位置关系,棱柱的结构特征,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：当点P是CC′中点时，A′D∥PC，故①不正确；以D为原点，建立空间直角坐标系，用向量法能证明DB′⊥A′BC′，从而得到A′P⊥B′D，故②正确；由已知条件推导出BC′∥平面AD′C，又P∈BC′，所以三棱锥A-D′PC的体积不变，故③正确．

解答： 解：当点P是CC′中点时，
A′D∥PC，此时A′P与CD共面于平面A′DCP，
故①不正确；
以D为原点，建立空间直角坐标系，
设正方体的棱长为1，
则D（0，0，0），B′（1，1，1），A′（1，0，1），
B（1，1，0），C′（0，1，1），
∴

DB′

=(1，1，1)，

A′B

=(0，1，-1)，

A′C′

=（-1，1，0），
∴

DB′

•

A′B

=0，

DB′

•

A′C′

=0，
∴DB′⊥A′B，DB′⊥A′C′，
∵A′B∩A′C′=A′，∴DB′⊥A′BC′，
∵A′P?平面A′BC′，∴A′P⊥B′D，
故②正确；
∵AD′∥BC′，AD′?平面AD′C，BC′不包含于平面AD′C，
∴BC′∥平面AD′C，又P∈BC′，
∴三棱锥A-D′PC的体积不变，
故③正确．
故答案为：②③．

点评：本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．