Question

已知椭圆（a＞b＞0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长半径的圆与直线y=x+ 相切.
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线与椭圆在轴上方的一个交点为，是椭圆的右焦点，试探究以为
直径的圆与以椭圆长轴为直径的圆的位置关系.

Answer 1

（1） ； (2)两圆心距为，所以两圆内切.

试题分析：（1）由于e= ∴           1分
又 ∴           3分
         4分
所以椭圆的方程为：             5分
(2)由（1）可知，直线与椭圆的一个交点为，
则以为直径的圆方程是，圆心为，半径为        9分
以椭圆长轴为直径的圆的方程是，圆心是，半径是          11分
两圆心距为，所以两圆内切.            14分
点评：中档题，本题椭圆的标准方程时，应用椭圆的几何性质，属于常见类型。曲线关系问题，往往通过联立方程组，得到一元二次方程，运用韦达定理。本题研究圆与圆的位置关系，注意考查圆心距与半径和（差）的关系。