Question

已知正△ABC边长等于

3

，点P在其外接圆上运动，则

PA

•

PB

的最大值是

 

．

Answer 1

考点：向量的模

专题：数形结合,平面向量及应用

分析：结合图形，利用向量数量积公式把

PA

•

PB

化为三角函数形式，利用和差化积公式化为一个角的三角函数，根据三角函数的值域求得最大值．

解答： 解：如图所示．
由正△ABC边长等于

3

，点P在其外接圆上运动．
∴∠AOB=120°，R=

1

2

×

3

sin60°

=1．
∴

PA

•

PB

=（

OA

-

OP

）•（

OB

-

OP

）
=

OA

•

OB

-

OA

•

OP

-

OP

•

OB

+

OP

2
=cos120°-cos∠POB-cos∠AOP+1
=

1

2

-2cos∠AOBcos（

∠AOP-∠BOP

2

）=

1

2

+cos（

∠AOP-∠BOP

2

），
∵cos（

∠AOP-∠BOP

2

）≤1，
∴当∠AOP=∠BOP时，

PA

•

PB

最大，且最大值为

3

2

．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查了向量的数量积公式，正弦定理及三角函数的和差化积公式，数形结合是解答本题的关键．