Question

已知f（x）=（

1

2

）^|x|，定义函数：g（x）=

f(x)，f(x)≤ 1 2 1 2 ，f(x)＞ 1 2

（1）画出函数g（x）的图象并写出其单调区间；
（2）设t∈R，若关于t的方程g（t）=-a²+4a-3有解，求实数a的取值范围；
（3）若m∈R，且f（mx-1）＞（

1

2

）^x对x∈[2，3]恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,分段函数的应用

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由已知结合指数函数的图象作出函数g（x）的图象并写出其单调区间；
（2）由（1）知g（t）的范围，求解不等式0＜-a2+4a-3≤

1

2

得答案；
（3）求出（

1

2

）^x在x∈[2，3]上的范围，然后分m＜0和m≥0把f（mx-1）＞（

1

2

）^x对x∈[2，3]恒成立转化为指数不等式，求出m的范围，取并集后得答案．

解答： 解：（1）f（x）=（

1

2

）^|x|，则函数g（x）=

f(x)，f(x)≤ 1 2 1 2 ，f(x)＞ 1 2

的图象如图，

增区间（-∞，-1），减区间（1，+∞）；
（2）由（1）知，函数g（t）的值域为（0，

1

2

]，
由0＜-a2+4a-3≤

1

2

，解得1＜a≤

4- 2

2

或

4+ 2

2

≤a＜3．
（3）当x∈[2，3]，(

1

2

)x∈[

1

8

，

1

4

]，
要使f（mx-1）＞（

1

2

）^x对x∈[2，3]恒成立，
则当m＜0时，(

1

2

)|mx-1|＞

1

4

，得|mx-1|＜2，
解得-

1

x

＜m＜0，
∴-

1

2

＜m＜0；
当m≥0时，(

1

2

)|mx-1|＞

1

8

，得|mx-1|＜3，
解得0≤m＜

4

x

，
∴0≤m＜

4

3

．
综上，m的取值范围是-

1

2

＜m＜

4

3

．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了分段函数的应用，体现了数学转化思想方法，是中档题．