Question

6．已知函数f（x）=2cos²x-2sin（x+$\frac{3}{2}$π）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{3}{2}$．
（1）求函数f（x）的单调递减区间；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，再向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$个单位长度，得到函数g（x）的图象，求当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，函数g（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）化函数f（x）为正弦型函数，根据正弦函数的图象与性质求出函数f（x）；
（2）根据函数图象平移法则，得出函数g（x）的解析式，
求出x∈[0，$\frac{π}{2}$]时函数g（x）的值域即可．

解答 解：（1）函数f（x）=2cos²x-2sin（x+$\frac{3}{2}$π）cos（x-$\frac{π}{3}$）-$\frac{3}{2}$
=2•$\frac{1+cos2x}{2}$+2cosx（cosxcos$\frac{π}{3}$+sinxsin$\frac{π}{3}$）-$\frac{3}{2}$
=1+cos2x+cos²x+$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{3}{2}$
=1+cos2x+$\frac{1+cos2x}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{3}{2}$
=$\frac{3}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x
=$\sqrt{3}$（$\frac{1}{2}$sin2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cos2x）
=$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{3}$）；
令$\frac{π}{2}$+2kπ≤2x+$\frac{π}{3}$≤$\frac{3π}{2}$+2kπ，k∈Z，
解得$\frac{π}{12}$+kπ≤x≤$\frac{7π}{12}$+kπ，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递减区间是[$\frac{π}{12}$+kπ，$\frac{7π}{12}$+kπ]，k∈Z；
（2）将函数f（x）的图象向右平移$\frac{π}{3}$个单位长度，
得y=$\sqrt{3}$sin[2（x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{π}{3}$]=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）的图象；
再向上平移$\frac{\sqrt{3}}{2}$个单位长度，
得y=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$的图象；
∴函数g（x）=$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，2x-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，$\frac{2π}{3}$]，
∴sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]；
∴$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$]，
∴$\sqrt{3}$sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$∈[$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]，
即函数g（x）的值域是[$\frac{-3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]．

点评 本题考查了三角恒等变换与三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．