Question

7．在△ABC中，A=2B．
（Ⅰ）求证：a=2bcosB；
（Ⅱ）若b=2，c=4，求B的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{a}{sinA}=\frac{a}{sin2B}$，即可证明：a=2bcosB；
（Ⅱ）若b=2，c=4，利用余弦定理，即可求B的值．

解答 （Ⅰ）证明：因为A=2B，
所以由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{b}{sinB}$，得$\frac{a}{sinA}=\frac{a}{sin2B}$，
得$\frac{a}{2sinBcosB}=\frac{b}{sinB}$，所以a=2bcosB．
（Ⅱ）解：由余弦定理，a²=b²+c²-2bccosA，
因为b=2，c=4，A=2B，
所以16cos²B=4+16-16cos2B，
所以${cos^2}B=\frac{3}{4}$，
因为A+B=2B+B＜π，所以$B＜\frac{π}{3}$，
所以$cosB=\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，所以$B=\frac{π}{6}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．