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已知集合M是满足下列性质的所有函数f（x）组成的集合：对于函数f（x），定义域内的任意两个不同自变量x₁，x₂，均有|f（x₁）-f（x₂）|≤|x₁-x₂|成立．
（1）判断函数f（x）=3x+1是否属于集合M？说明理由；
（2）若 $数学公式$ 在（1，+∞）上属于M，求实数a的取值范围．

解：（1）f（x）=3x-1∉M，可举反例说明：
若x₁=1，x₂=2，则f（x₁）=4，f（x₂）=7，|f（x₁）-f（x₂）|=3≤1=|x₁-x₂|不成立．
（2）对任意两个自变量x₁，x₂∈（1，+∞）， $\text{[math]}$
因为|g（x₁）-g（x₂）|= $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ 恒成立．
?|a|•| $\text{[math]}$ |≤1?|a|≤| $\text{[math]}$ |
又x₁＞1，x₂＞1?x₁x₂＞1? $\text{[math]}$ （0，1）? $\text{[math]}$ （1，+∞）
即|a|≤1
故a的取值范围是：[-1，1]
分析：（1）判断f（x）是否属于集合M，就看其是否满足条件，通过具体的反例可以直接判断出来．
（2）g（x）属于M则满足不等式条件，通过解恒成立的不等式，进而求得a的范围．
点评：考查反例在证明问题中的重要作用，同时考查不等式恒成立问题的解法．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：在定义域内存在x₀，使得f（x₀+1）=f（x₀）+f（1）成立．
（1）函数f(x)=

是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f(x)=lg

x2+1

∈M，求a的取值范围；
（3）设函数y=2^x图象与函数y=-x的图象有交点，证明：函数f（x）=2^x+x²∈M．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数T，对任意x∈R，有f（x+T）=T•f（x）成立．
（1）函数f（x）=x是否属于集合M？说明理由；
（2）设函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象与y=x的图象有公共点，证明：f（x）=a^x∈M；
（3）若函数f（x）=sinkx∈M，求实数k的取值范围．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知集合M是满足下列性质的函数f（x）的全体：存在非零常数k，对定义域中的任意x，等式f（kx）=

+f（x）恒成立．
（1）判断一次函数f（x）=ax+b（a≠0）是否属于集合M；
（2）证明函数f（x）=log₂x属于集合M，并找出一个常数k；
（3）已知函数f（x）=log_ax（ a＞1）与y=x的图象有公共点，证明f（x）=log_ax∈M．

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科目：高中数学 来源： 题型：

已知集合M是满足下列条件的函数f（x）的全体；
①当x∈[0，+∞）时，函数值为非负实数；
②对于任意的s、t∈x[0，+∞），λ＞0，都有

f(x)+λf(t)

1+λ

≤f(

s+λt

1+λ

)
在三个函数f₁（x）=x-1，f2(x)=2x-1，f3(x)=ln

x+1

中，属于集合M的是

f₃（x）

（写出您认为正确的所有函数．）

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科目：高中数学 来源： 题型：

（2011•嘉定区三模）已知集合M是满足下列两个条件的函数f（x）的全体：①f（x）在定义域上是单调函数；②在f（x）的定义域内存在闭区间[a，b]，使f（x）在[a，b]上的值域为[

，

]．若函数g(x)=

x-1

+m，g（x）∈M，则实数m的取值范围是

(0 ，

]

(0 ，

]

．

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