Question

9．过点（1，3）且渐近线为y=±$\frac{1}{2}$x的双曲线方程是$\frac{4{y}^{2}}{35}$-$\frac{{x}^{2}}{35}$=1，其实轴长是$\sqrt{35}$．

Answer 1

分析 由题意可知：根据双曲线的性质可设双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ$，（λ≠0），将（1，3）即可求得λ的值，求得双曲线的方程；则求得焦点在y轴上，则
实轴长2a=$\sqrt{35}$．

解答 解：由题意可知：设双曲线的方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=λ$，（λ≠0），
则将（1，3）代入$\frac{1}{4}$-9=λ，解得：λ=$-\frac{35}{4}$，
∴双曲线的方程：$\frac{4{y}^{2}}{35}$-$\frac{{x}^{2}}{35}$=1，
由双曲线方程可知：焦点在y轴上，a²=$\frac{35}{4}$，则a=$\frac{\sqrt{35}}{2}$，
则实轴长2a=$\sqrt{35}$，
故答案为：$\frac{4{y}^{2}}{35}$-$\frac{{x}^{2}}{35}$=1，$\sqrt{35}$．

点评 本题考查双曲线的标准方程的求法，考查已知渐近线方程及一个点求双曲线的方程问题，考查计算能力，属于基础题．