Question

17．在等腰△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD长为6，则当△ABC的面积取得最大值时，AB的长为4$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设AB=AC=2x，三角形的顶角θ，则由余弦定理求得cosθ的表达式，进而根据同角三角函数基本关系求得sinθ，最后根据三角形面积公式表示出三角形面积的表达式，根据一元二次函数的性质求得面积的最大值．

解答 解：在等腰△ABC中，设AB=AC=2x，AD=x．
设三角形的顶角为θ，则由余弦定理得cosθ=$\frac{5{x}^{2}-36}{4{x}^{2}}$，∴sinθ=$\frac{\sqrt{-9（{x}^{2}-20）^{2}+6{0}^{2}-3{6}^{2}}}{4{x}^{2}}$，
 由公式三角形：
S=$\frac{1}{2}$absinθ=$\frac{1}{2}•2x•2x•$$\frac{\sqrt{-9（{x}^{2}-20）^{2}+6{0}^{2}-3{6}^{2}}}{4{x}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{-9（{x}^{2}-20）^{2}+6{0}^{2}-3{6}^{2}}$得：
当 x²=20时，三角形面积有最大值，即AB=2x=4$\sqrt{5}$时三角形面积有最大值．
所以答案为：4$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了三角形的面积最值问题，设变量，用变量表达面积是关键，属于中档题．