Question

19．在△ABC中，AB=4，AC=6，cosB=$\frac{1}{8}$．
（Ⅰ）求△ABC面积；
（Ⅱ）求AC边上的中线BD的长度．

Answer 1

分析 （I）利用余弦定理与三角形面积计算公式即可得出．
（II）利用余弦定理即可得出．

解答 解：（Ⅰ）由余弦定理得：b²=a²+c²-2accosB，即36=16+a²-2×4a×$\frac{1}{8}$．
∴a²-a-20=0，
解得a=5．
又cosB=$\frac{1}{8}$，B为三角形内角，
∴sinB=$\sqrt{1-co{s}^{2}B}$=$\frac{3\sqrt{7}}{8}$．
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}ac$sinB=$\frac{1}{2}×5×4×\frac{3\sqrt{7}}{8}$=$\frac{15\sqrt{7}}{4}$．
（Ⅱ）设∠ADB=α，则∠CDB=π-α．
设BD=m．
在△ABD与△BCD中，分别利用余弦定理可得：
4²=m²+3²-6mcosα，
5²=m²+3²-6mcos（π-α），
∴41=2m²+18，
解得m=$\frac{\sqrt{46}}{2}$．

点评 本题考查了余弦定理与三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．