Question

11．已知S_n是等差数列{a_n}的前n项和，公差为d，且S₂₀₁₅＞S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，下列五个命题：
①d＞0
②S₄₀₂₉＞0
③S₄₀₃₀＜0
④数列{S_n}中的最大项为S₄₀₂₉
⑤|a₂₀₁₅|＜|a₂₀₁₆|
其中正确命题的个数是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由题意易得等差数列的前2015项和最大，故a₁＞0，d＜0，然后由等差数列的求和公式和性质，逐个选项验证可得．

解答 解：S_n是等差数列{a_n}的前n项和，公差为d，且S₂₀₁₅＞S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，
∴等差数列的前2015项和最大，故a₁＞0，d＜0，
且前2015项为正数，从第2016项开始为负数，故①④错误；
再由S₂₀₁₆＞S₂₀₁₄，可得S₂₀₁₆-S₂₀₁₄=a₂₀₁₅+a₂₀₁₆＞0，
∴a₂₀₁₅＞-a₂₀₁₆，即⑤|a₂₀₁₅|＞|a₂₀₁₆|，⑤错误；
S₄₀₂₉=$\frac{4029}{2}$（a₁+a₄₀₂₉）=$\frac{4029}{2}$×2a₂₀₁₅＞0，故②正确；
S₄₀₃₀=$\frac{4030}{2}$（a₁+a₄₀₃₀）=2015（a₂₀₁₅+a₂₀₁₆）＞0，故③错误．
故选：A

点评 本题考查等差数列的前n项和公式和性质，逐个验证是解决问题的关键，属中档题．