Question

1．若命题“?x∈（1，+∞），x²-（2+a）x+2+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，2]
• C． [-2，2]
• D． （-∞，-2]∪[2，+∞）

Answer 1

分析 根据不等式恒成立的关系转化为一元二次函数，讨论判别式△的取值，进行求解即可．

解答 解：判别式△=（2+a）²-4（2+a）=（a+2）（a-2），
若判别式△=（a+2）（a-2）≤0，即-2≤a≤2时，不等式恒成立，满足条件．
若判别式△=（a+2）（a-2）＞0即a＞2或a＜-2时，
设f（x）=x²-（2+a）x+2+a，
要使命题“?x∈（1，+∞），x²-（2+a）x+2+a≥0”为真命题，
则满足$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{-（2+a）}{2}=\frac{a+2}{2}≤1}\\{f（1）=1≥0}\end{array}\right.$，则a≤0，
∵a＞2或a＜-2，∴a＜-2，
综上，a≤2，
故选：B．

点评 本题主要考查不等式恒成立问题，讨论判别式△是解决本题的关键．