Question

12．如图，已知四棱锥P-ABCD的底面是菱形，∠BCD=60°，AB=PB=PD=2，PC=$\sqrt{3}$，AC与BD交于O点，E，H分别为PA，OC的中点．
（1）求证：PH⊥平面ABCD；
（2）求直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）连结OP，推导出OP⊥BD，AC⊥BD，从而BD⊥平面PAC，由此能证明PH⊥平面ABCD．
（2）过点O作OZ∥PH，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线CE与平面PAB所成角的正弦值．

解答 证明：（1）连结OP，如图所示，
∵PB=PD，∴OP⊥BD，
在菱形ABCD中，AC⊥BD，
又∵AC∩OP=O，∴BD⊥平面PAC，
又PH?平面PAC，∴BD⊥PH，
在Rt△POB中，OB=1，PB=2，∴OP=$\sqrt{3}$，
又PC=$\sqrt{3}$，H为OC的中点，∴PH⊥平面ABCD．
解：（2）过点O作OZ∥PH，则OZ⊥平面ABCD，
如图，以O为原点，OA、OB、OZ所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（$\sqrt{3}，0，0$），B（0，1，0），C（-$\sqrt{3}$，0，0），P（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），E（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），
∴$\overrightarrow{AB}$=（-$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（-$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，0，$\frac{3}{2}$），$\overrightarrow{CE}$=（$\frac{5\sqrt{3}}{4}$，0，$\frac{3}{4}$），
设平面PAB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=-\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}，\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{CE}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{CE}|}$=$\frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{7}•\frac{\sqrt{21}}{2}}$=$\frac{4}{7}$．
∴直线CE与平面PAB所成角的正弦值为$\frac{4}{7}$．

点评 本题考查垂直的证明，考查线面所成角的正弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．