Question

3．从抛物线C：x²=2py（p＞0）外一点P作该抛物线的两条切线PA、PB（切点分别为A、B），分别与x轴相交于C、D，若AB与y轴相交于点Q，点M（x₀，4）在抛物线C上，且|MF|=6（F为抛物线的焦点）．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求证：四边形PCQD是平行四边形．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的定义，求出p，即可求抛物线C的方程；
（2）证明线段CD被线段PQ平分，即可证明四边形PCQD是平行四边形．

解答 （1）解：因为$|{MF}|=4+\frac{p}{2}=6$
所以p=4，即抛物线C的方程是x²=8y…（3分）
（2）证明：由x²=8y得$y=\frac{x^2}{8}$，${y^'}=\frac{x}{4}$…（4分）
设$A（{{x_1}，\frac{x_1^2}{8}}），B（{{x_2}，\frac{x_2^2}{8}}）$，
则直线PA的方程为$y-\frac{x_1^2}{8}=\frac{x_1}{4}（{x-{x_1}}）$，①…（5分）
则直线PB的方程为$y-\frac{x_2^2}{8}=\frac{x_2}{4}（{x-{x_2}}）$，②…（6分）
由①和②解得：$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，y=\frac{{{x_1}{x_2}}}{8}$，所以$P（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}，\frac{{{x_1}{x_2}}}{8}}）$…（7分）
设点Q（0，t），则直线AB的方程为y=kx+t…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=8y\\ y=kx+t\end{array}\right.$得x²-8kx-8t=0
则x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8t…（9分）
所以P（4k，-t），所以线段PQ被x轴平分，即被线段CD平分，
在①中，令y=0解得$x=\frac{x_1}{2}$，所以$C（{\frac{x_1}{2}，0}）$，同理得$D（{\frac{x_2}{2}，0}）$，所以线段CD的中点
坐标为$（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{4}，0}）$，即（2k，0）…（10分）
又因为直线PQ的方程为$y=-\frac{t}{2k}x+t$，所以线段CD的中点（2k，0）在直线PQ上，
即线段CD被线段PQ平分…（11分）
因此，四边形PCQD是平行四边形…（12分）

点评 本题考查抛物线的定义与方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．