Question

2．若函数f（x）=log₂（3^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{2}（{3}^{x}+1）}$在[1，+∞）上无零点，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-4，2）
• B． （-2，4）
• C． （0，+∞）
• D． （-4，+∞）

Answer 1

分析 利用换元法，t=log₂（3^x+1），则t≥2，则f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上无零点，求导，根据函数的最值得到a的取值范围．

解答 解：∵x∈[1，+∞），
∴3^x+1≥4，
∴log₂（3^x+1）≥2，
设t=log₂（3^x+1），则t≥2，
∵f（x）=log₂（3^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{2}（{3}^{x}+1）}$在[1，+∞）上无零点
∴f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上无零点，
∴f′（t）=1-$\frac{a}{{t}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}-a}{{t}^{2}}$，
当a≤0时，f′（t）＞0恒成立，
∴f（t）为增函数，
∴f（2）＞0，
即2+$\frac{a}{2}$＞0，
解得a＞4，
当a＞0时，f（t）=t+$\frac{a}{t}$＞0在[2，+∞）恒成立，
故函数f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上无零点，
综上所述，f（t）=t+$\frac{a}{t}$在[2，+∞）上无零点，则a的范围为（-4，+∞），
故函数f（x）=log₂（3^x+1）+$\frac{a}{lo{g}_{2}（{3}^{x}+1）}$在[1，+∞）上无零点，则实数a的取值范围是（-4，+∞），
故选：D．

点评 本题考查了函数零点的问题，以及导数和函数的单调性最值得问题，关键是换元，属于中档题．