Question

1．已知等差数列{a_n}各项均为整数，其公差d＞0，a₃=4，且a₁，a₃，a_k（k＞3）成等比数列{b_n}的前三项．
（1）求数列{a_n}与{b_n}的通项公式；
（2）将数列{a_n}与{b_n}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{c_n}，数列{c_n}的前n项和S_n．求S₃₀．

Answer 1

分析 （1）通过a₁，a₃，a_k（k＞3）成等比数列可知16=（4-2d）[4+d（k-3）]，化简可知d=2-$\frac{4}{k-3}$，利用d∈Z可知d=1，进而计算可得结论；
（2）利用所求值为数列{a_n}的前35项和减去数列{b_n}的前5项和，进而计算可得结论．

解答 解：（1）依题意，${{a}_{3}}^{2}$=a₁a_k，
∴16=（4-2d）[4+d（k-3）]，
整理得：d=2-$\frac{4}{k-3}$，
又∵d∈Z，
∴k=7或k=1（舍），即d=1，
∴a_n=a₃+（n-3）d=n+1，
又∵等比数列{b_n}的公比q=$\frac{{a}_{3}}{{a}_{1}}$=$\frac{4}{2}$，
∴b_n=2ⁿ；
（2）令数列{a_n}的前n项和为A_n，数列{b_n}的前n项和为B_n，
由（1）可知a₁=b₁，a₃=b₂，a₇=b₃，a₁₅=b₄，a₃₁=b₅，
则S₃₀=A₃₅-B₅=603．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．