Question

6．已知抛物线：y²=2px，直线AB，CD过焦点F，与抛物线交于A，B，C，D，且AB⊥CD，∠AOB=90°．求证：$\frac{1}{\overrightarrow{FA•}\overrightarrow{FB}}+$$\frac{1}{\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}}$为定值．

Answer 1

分析 设直线AB的方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0）．由于AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{p}{2}$），分别与抛物线的方程联立可得根与系数的关系，再利用向量的坐标运算和数量积运算，即可证得$\frac{1}{\overrightarrow{FA•}\overrightarrow{FB}}+$$\frac{1}{\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}}$为定值．

解答 证明：如图所示，由抛物线y²=2px，可得焦点F（$\frac{p}{2}，0$）．
设直线AB的方程为：y=k（x-$\frac{p}{2}$）（k≠0），
∵AB⊥CD，可得直线CD的方程为y=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{p}{2}$），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为4k²x²-（4k²p+8p）x+k²p²=0，
得x₁+x₂=$\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
同理可得x₃+x₄=p+2k²p，x₃x₄=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}$=（x₁$-\frac{p}{2}$，y₁）•（x₂-$\frac{p}{2}$，y₂）=x₁x₂-$\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+$\frac{{p}^{2}}{4}$+y₁•y₂
=x₁x₂-$\frac{p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）$+$\frac{{p}^{2}}{4}$+${k}^{2}{x}_{1}{x}_{2}-\frac{{k}^{2}p}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{k}^{2}{p}^{2}}{4}$
=$（{k}^{2}+1）{x}_{1}{x}_{2}-（\frac{{k}^{2}p}{2}+\frac{p}{2}）（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{{p}^{2}}{4}（{k}^{2}+1）$
=$（{k}^{2}+1）[\frac{{p}^{2}}{4}-\frac{p}{2}\frac{{k}^{2}p+2p}{{k}^{2}}+\frac{{p}^{2}}{4}]$=$-\frac{{p}^{2}（{k}^{2}+1）}{{k}^{2}}$；
同理可得$\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}$=-p²（k²+1）．
∴$\frac{1}{\overrightarrow{FA•}\overrightarrow{FB}}+$$\frac{1}{\overrightarrow{FC}•\overrightarrow{FD}}$=$-\frac{{k}^{2}}{{p}^{2}（{k}^{2}+1）}-\frac{1}{{p}^{2}（{k}^{2}+1）}=-\frac{{k}^{2}+1}{{p}^{2}（{k}^{2}+1）}$=$-\frac{1}{{p}^{2}}$，为定值．

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的应用，联立直线方程与抛物线方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求解是解题的关键，考查向量的坐标运算和数量积运算，考查了推理论证能力和计算能力，属于难题．