Question

16．已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为3，点P是过三个顶点A₁，B₁，C₁所在平面上一动点，且满足|PD|+|PB₁|=2+$\sqrt{13}$，则直线B₁P与直线AD₁所成角余弦值的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．

Answer 1

分析 取BC₁的中点E，作点B₁在平面A₁BC₁内的投影O，过O作OF∥BC₁，交A₁B于点F，连结B₁D、A₁E，以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB₁所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线B₁P与直线AD₁所成角余弦值的取值范围．

解答 解：取BC₁的中点E，作点B₁在平面A₁BC₁内的投影O
过O作OF∥BC₁，交A₁B于点F，连结B₁D、A₁E，
以O为坐标原点，分别以OF、OE、OB₁所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
由题意得D（0，0，-2$\sqrt{3}$），B₁（0，0，-$\sqrt{3}$），${B}_{1}（0，0，\sqrt{3}）$，B（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），C₁（-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$，0），
设P（x，y，z），则$\overrightarrow{PD}$=（-x，-y，-2$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{P{B}_{1}}$=（-x，-y，$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（-3$\sqrt{2}$，0，0），
∵|$\overrightarrow{PD}$|+|$\overrightarrow{P{D}_{1}}$|=2+$\sqrt{13}$，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+12}+\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}+3}$=2+$\sqrt{13}$，∴|$\overrightarrow{P{B}_{1}}$|=2，即x²+y²=1，
记α为直线B₁P与直线BC₁所成角，则α即为直线B₁P与AD₁所成角，
∴cos＜$\overrightarrow{P{B}_{1}}$，$\overrightarrow{B{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{P{B}_{1}}•\overrightarrow{B{C}_{1}}}{|\overrightarrow{P{B}_{1}}|•|\overrightarrow{B{C}_{1}}|}$=$\frac{3\sqrt{2}x}{2×3\sqrt{2}}$=$\frac{x}{2}$，
∵点P的轨迹在平面A₁BC₁内是以O为圆心，1为半径的单位圆，
∴-1≤x≤1，∴-$\frac{1}{2}≤cos＜\overrightarrow{P{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞≤\frac{1}{2}$，
又∵α为锐角，∴0$≤cos＜\overrightarrow{P{B}_{1}}，\overrightarrow{B{C}_{1}}＞≤\frac{1}{2}$．
∴直线B₁P与直线AD₁所成角余弦值的取值范围是[0，$\frac{1}{2}$]．
故答案为：[0，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查线线角的余弦值的以值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．