Question

10．已知a，b是平面α内的两条相交直线，且直线n⊥a，n⊥b，求证：n⊥α

Answer 1

分析 证明直线与平面垂直，根据定义，需证明直线与平面内的任一直线垂直，故可利用平面向量基本定理，将平面内的任一向量用一组基底表示，证明当直线与基底垂直时，就垂直于平面内的任一向量，利用数量积运算即可得证．

解答 解：设直线a的方向向量为$\overrightarrow{a}$，直线b的方向向量为$\overrightarrow{b}$，直线n的方向向量为$\overrightarrow{n}$，
∵a，b是平面α内的两条相交直线，
∴$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$是平面α内的两个不共线向量，设平面α内的任一向量为$\overrightarrow{m}$，由平面向量基本定理，存在唯一实数λ，μ，使：$\overrightarrow{m}$=λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$，
又∵n⊥a，n⊥b，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{a}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{b}$=0，
∴$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{m}$=$\overrightarrow{n}$•（λ$\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{a}$+μ$\overrightarrow{n}•\overrightarrow{b}$=0
∴$\overrightarrow{n}$⊥$\overrightarrow{m}$，
∴直线n垂直于平面α内的任意直线，由线面垂直的定义得：l⊥α

点评 本题考查了直线与平面垂直的判定定理及其证明方法，平面向量基本定理的应用，利用平面向量解决几何问题的方法，属于中档题．