Question

8．已知△ABC面积为S，AB=2，AC=3，且$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$S，则BC=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 根据三角形的面积公式有S=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA$，从而由条件$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=\frac{2\sqrt{3}}{3}S$可以得到S$•\frac{2cosA}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{3}S$，从而可以得到tanA=$\sqrt{3}$，这便知道A=$\frac{π}{3}$，这样在△ABC中由余弦定理即可求出BC²，从而得出BC的值．

解答 解：如图，
$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|cosA$=$\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{AC}|sinA•\frac{2cosA}{sinA}$=$S•\frac{2cosA}{sinA}=\frac{2\sqrt{3}}{3}S$；
∴$\frac{cosA}{sinA}=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
即tanA=$\sqrt{3}$；
∵0＜A＜π；
∴$A=\frac{π}{3}$；
由余弦定理：BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cosA=4+9-6=7；
∴$BC=\sqrt{7}$．
故答案为：$\sqrt{7}$．

点评 考查三角形的面积公式，向量的数量积的计算公式，切化弦公式，以及余弦定理．