Question

20．在三角形ABC中，B=$\frac{π}{3}，AC=\sqrt{3}$，AB+BC的最大值为$2\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理求出AB•BC与AB+BC的关系式，利用基本不等式求得AB+BC的范围，进而求得其最大值．

解答 解：设AB+BC=t，
cosB=$\frac{A{B}^{2}+B{C}^{2}-A{C}^{2}}{2AB•BC}$=$\frac{{t}^{2}-2AB•BC-3}{2AB•BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴t²-3=3AB•BC，即（AB+BC）²-3=3AB•BC
∵AB•BC≤$\frac{（AB+BC）^{2}}{4}$，当且仅当AB=BC时，等号成立，
∴（AB+BC）²-3≤$\frac{3}{4}•$（AB+BC）²，
∴$\frac{1}{4}$•（AB+BC）²≤3，即（AB+BC）²≤12，
∴AB+BC≤2$\sqrt{3}$，
∴AB+BC的最大值为2$\sqrt{3}$，
此时AB=BC=AC=$\sqrt{3}$，
故答案为：2$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查余弦定理的应用，基本不等式等知识．在运用基本不等式时，一定要注意在使用基本不等式，判断等号能否成立．