Question

9．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+（m²-1）x，（x∈R，m＞0），若f（x）有三个互不相同的零点0，x₁，x₂，且x₁＜x₂，若对任意x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）成立，则实数m的取值范围是（　　）

• A． $（{\frac{1}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• B． $（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{3}}）$
• C． $（{\frac{1}{2}，1}）$
• D． $（{\frac{{\sqrt{3}}}{3}，1}）$

Answer 1

分析 通过讨论x₁，x₂的范围，结合题意属于区间[x₁，x₂]的点的函数值均大于f（1），由此计算m的范围．

解答 解：由题设，f（x）=x（-$\frac{1}{3}$x²+x+m²-1）=-$\frac{1}{3}$x（x-x₁）（x-x₂），
∴方程-$\frac{1}{3}$x²+x+m2-1=0有两个相异的实根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+$\frac{4}{3}$（m²-1）＞0，∵m＞0
解得m＞$\frac{1}{2}$，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，
故x₂＞$\frac{3}{2}$＞1．（10分）
①当x₁≤1＜x₂时，f（1）=-$\frac{1}{3}$（1-x₁）（1-x₂）≥0，而f（x₁）=0，不符合题意，
②当1＜x₁＜x₂时，对任意的x∈[x₁，x₂]，都有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f（x）=-$\frac{1}{3}$x（x-x₁）（x-x₂）≥0，又f（x₁）=0，所以f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f（1）=m²-$\frac{1}{3}$＜0，
解得-$\frac{\sqrt{3}}{3}$＜m＜$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
综上，m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
故选：A．

点评 本题较为复杂，主要考查了函数的单调性及二次函数的性质问题，注意掌握知识点间的关系．