Question

【题目】已知函数．（无理数）

（1）若在单调递增，求实数的取值范围；

（2）当时，设函数，证明：当时，．（参考数据）

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）由函数的单调性与导数的关系可得：在（1，＋∞）恒成立，转化成h（x）＝（x＋x2）ex－1－ 在（1，＋∞）恒成立，利用导数判断的单调性，从而可得，问题得解。

（2）当时，，利用导数可得，由及即可判断存在，），使，即：，由函数单调性可得：，结合二次函数的性质即可证得 ，问题得解。

（1）函数f（x）的定义域为（0，＋∞）

在单调递增，

在（1，＋∞）恒成立，

设h（x）＝（x＋x2）ex－1－，

由题意h（x）≥0在（1，＋∞）恒成立，h'（x）＝ex－1（x2＋3x＋1），

当x∈（1，＋∞）时，x2＋3x＋1＞0，

故h'（x）＞0，h（x）在（1，＋∞）单调递增，

所以h（x）＞h（1）＝2－，故2－≥0， ≤2，

综上∈（－∞，2]．

（2）当＝0时，f（x）＝xex－1，

g（x）＝ex－x2－x，

g'（x）＝ex－2x－1，

设m（x）＝ex－2x－1，

则m'（x）＝ex－2，令m'（x）＝0，解得x＝ln2，

当x∈（0，ln2）时，m'（x）＜0，m（x）单调递减，

当x∈（ln2，＋∞）时，m'（x）＞0，m（x）单调递增．

因此m（x）≥m（ln2）＝eln2－2ln2－1＝1－2ln2＜0，

即g'（ln2）＝1－2ln2＜0，，

又g'（0）＝0，，

故存在x0∈（ln2，），使g'（x0）＝0，

即，．

当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，

x∈（x0，＋∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，

，

由于x0∈（ln2，），

函数单调递减，

故

所以，当x＞0时，．