【题目】设数列的前
项和
,
是常数且
.
(1)证明:是等差数列;
(2)证明:以为坐标的点
落在同一直线上,并求直线方程;
(3)设,
是以
为圆心,
为半径的圆
,求使得点
都落在圆外时,
的取值范围.
【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析,直线方程为;
(3)
【解析】
(1)根据求得
的通项公式,即可证明.
(2)当时,
,
,可去研究
与
所在直线的斜率是否相等,若相等,则说明都落在同一条直线上,继而根据点斜式写出此直线的方程.
(3)点在圆外的条件是点到圆心的距离大于半径.由已知列出关于的不等式组,解不等式即可.
解:(1)由题意,
当时,
,
当时,
有
当时,也成立
因此,当时,有
是以
为首项,
为公差的等差数列
(2),对于
,有
所以所有的点都落在通过
且以
为斜率的直线上,此直线方程为
,即
(3)当时,
的坐标为
,使
都落在圆
外的条件是
,即
,
由不等式①,得
由不等式②,得或
由不等式③,得或
再注意到,
,
故使、
、
都落在圆
外时,
的取值范围是
.
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【题目】在以为圆心,6为半径的圆
内有一点
,点
为圆
上的任意一点,线段
的垂直平分线
和半径
交于点
.
(1)判断点的轨迹是什么曲线,并求其方程;
(2)记点的轨迹为曲线
,过点
的直线与曲线
交于
,
两点,求
的最大值;
(3)在圆上的任取一点
,作曲线
的两条切线,切点分别为
、
,试判断
与
是否垂直,并给出证明过程.
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【题目】已知点在抛物线
:
上.
(1)求的方程;
(2)过上的任一点
(
与
的顶点不重合)作
轴于
,试求线段
中点的轨迹方程;
(3)在上任取不同于点
的点
,直线
与直线
交于点
,过点
作
轴的垂线交抛物线
于点
,求
面积的最小值.
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【题目】汽车在行驶中,由于惯性,刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止,一般称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,突然发现有危险情况,同时紧急刹车,但还是发生了交通事故.事后现场勘查,测得甲车的刹车距离略超过
,乙车的刹车距离略超过
.已知甲、乙两种车型的刹车距离
与车速
之间的关系分别为:
,
.根据以上信息判断:在这起交通事故中,应负主要责任的可能是_______________车,理由是__________________________.
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【题目】一只昆虫的产卵数与温度
有关,现收集了6组观测数据与下表中.由散点图可以发现样本点分布在某一指数函数曲线
的周围.
温度 | 21 | 23 | 25 | 27 | 29 | 31 |
产卵数 | 7 | 11 | 21 | 24 | 66 | 114 |
令,经计算有:
26 | 40.5 | 19.50 | 6928 | 526.60 | 70 |
(1)试建立关于
的回归直线方程并写出
关于
的回归方程
.
(2)若通过人工培育且培育成本与温度
和产卵数
的关系为
(单位:万元),则当温度为多少时,培育成本最小?
注:对于一组具有线性相关关系的数据,
,…,
,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘公式分别为
,
.
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