Question

【题目】已知函数.

（1）当时，求函数的最值；

（2）当时，对任意都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）当时，设函数，数列满足， ，求证： ， .

Answer 1

【答案】（1），无最大值.（2）（3）见解析

【解析】试题分析：（1）先求导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律确定单调性，进而确定最值（2）当时,利用导数易得为单调递增函数，且 ，因此（3）先证明为单调递增函数，再利用数学归纳法证明

试题解析：（1）∵，∴，

∴，令，得，则随变化如下：

所以，无最大值.

（2）设，则，

当时，且， ，函数在上是增加的，

∴， 成立；

当时，令，得，当， ，

函数在上是减小的，而，所以，当时， ，

所以不恒成立，

综上，对任意都有恒成立时， .

（3）∵，∴，

又，当时， ，∴在上是增加的，

所以，当时，∵，∴，

而，∴成立.

，假设时， 成立，那么当时， ，

而，∴成立.

综合， 得： ， 成立.