Question

8．已知椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且椭圆上的点到其中一个焦点最大距离为2+$\sqrt{3}$，抛物线C以原点为顶点，以椭圆与x轴正半轴的交点为焦点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）已知点M（2，0），问：x轴上是否存在一定点P，使得对于抛物线C上的任意两点A和B，当$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R）时，恒有点M到直线PA与PB的距离相等？若存在，则求点P的坐标，否则说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意的离心率公式，即可求得$\sqrt{3}$a=2c，且a+c=2+$\sqrt{3}$，即可求得a和c的值，则b²=a²-c²=1，求得椭圆方程，求得抛物线的焦点坐标，即可求得抛物线C的方程；
（Ⅱ）设直线AB的方程为：x=my+2，代入抛物线方程可得：y²-4my-8=0..由△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{丨PA丨}{丨PB丨}$，可得：PM平分∠APB，因此直线PA，PB的倾斜角互补，即k_PA+k_PB=0，利用斜率计算公式、根与系数的关系化简即可得出．

解答 解：（1）椭圆的标准方程为$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），焦点在y轴上，
椭圆离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则$\sqrt{3}$a=2c，①
a+c=2+$\sqrt{3}$，②
解得：a=2，c=$\sqrt{3}$，
则b²=a²-c²=1，
∴椭圆的标准方程：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
则抛物线的焦点坐标为（1，0），抛物线的方程为y²=4x，
∴抛物线的方程为y²=4x；
设动圆圆心的坐标为C（x，y），由题意可得：2²+|x|²=（x-2）²+y²，化为：y²=4x．
∴动圆圆心的轨迹方程为：y²=4x．
（Ⅱ）设P（a，0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MB}$（λ∈R），可知：M，A，B三点共线．
设直线AB的方程为：x=my+2，
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+2}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，整理得：y²-4my-8=0．
由M到PA的距离为d₁，由M到PB的距离为d₂，
S_MPA=$\frac{1}{2}$×丨PA丨×d₁，S_MPB=$\frac{1}{2}$×丨PB丨×d₂，
由M到直线PA与PB的距离相等，
则△PAM与△PBM的面积之比等于$\frac{丨PA丨}{丨PB丨}$，可得：PM平分∠APB，
∴y₁+y₂=4m，y₁•y₂=-8．由因此直线PA，PB的倾斜角互补，
∴k_PA+k_PB=0，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-a}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-a}$=0，
把x₁=my₁+2，x₂=my₂+2，代入可得：$\frac{2m{y}_{1}{y}_{2}+（2-a）（{y}_{1}+{y}_{2}）}{（m{y}_{1}+2-a）（m{y}_{2}+2-a）}$=0，
∴-16m+（2-a）×4m=0，化为：m（a+2）=0，由于对于任意m都成立，
∴a=-2．
故存在定点（-2，0），满足条件．

点评 本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，韦达定理，考查计算能力，属于中档题．