Question

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f₁（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f₂（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值，若存在最小正整数k，使得f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．已知函数f（x）=x²，（x∈[-1，4]）为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，则k的取值是

 

．

Answer 1

分析：根据函数f（x）=x²在x∈[-1，4]上的值域，先写出f₁（x）、f₂（x）的解析式，再由f₂（x）-f₁（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．

解答：解：f1(x)=

x2，x∈[-1，0) 0，x∈[0，4]

，f2(x)=

1，x∈[-1，1) x2，x∈[1，4]

f2(x)-f1(x)=

1-x2，x∈[-1，0) 1，x∈[0，1) x2，x∈[1，4]

当x∈[-1，0]时，1-x²≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），∴k≥

1

x+1

，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x²≤k（x+1），
∴k≥

x2

x+1

，
∴k≥

16

5

．
综上所述，∴k≥

16

5

故答案为：k≥

16

5

．

点评：本题主要考查学生的对新问题的接受、分析和解决的能力．要求学生要有很扎实的基本功才能作对这类问题．