Question

【题目】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程：（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程；

（2）过曲线上一点作直线与曲线交于两点，中点为，，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根据曲线的参数方程，得出，则，而，两式相除整理得，再代入，即参数方程和普通方程之间进行转换，消去参数，即可得出曲线的普通方程；

（2）设圆心到直线的距离为，由于，利用直线与圆的弦长公式求出，由，将求的最小值转化为最小，进而转化为圆心到直线的距离，利用点到直线的距离公式求出，即可求出的最小值．

解：（1）已知曲线的参数方程：（为参数），

由，得，

即，又，

两式相除得：，整理得，

代入，得，

整理得，即为曲线的普通方程.

（2）设圆心到直线的距离为，

则，∴.

由于，

当最小时，最小，因为的最小值为圆心到直线的距离，

所以，

所以.