Question

【题目】已知函数f(x)=3x,f(a+2)=27,函数g(x)=λ·2ax-4x的定义域为[0,2].

(1)求a的值;

(2)若函数g(x)在[0,2]上单调递减,求λ的取值范围;

(3)若函数g(x)的最大值是,求λ的值.

Answer 1

【答案】(1) a=1.

(2) (-∞,2].

(3) λ=.

【解析】

(1)由指数的运算法则可得a=1.

(2)由(1)得g(x)=λ·2x-4x.由题意可知任取0≤x1<x2≤2,Δy=y2-y1<0,原问题等价于λ<对于x∈[0,2]恒成立.据此可得λ的取值范围是(-∞,2].

(3)设t=2x,换元可知1≤t≤4.且y=-,1≤t≤4.结合二次函数的性质分类讨论可得λ=.

(1)27=3a+2=33,∴a=1.

(2)由(1)得,g(x)=λ·2x-4x.

任取0≤x1<x2≤2,则Δx=x2-x1>0,

∵g(x)在[0,2]上是减函数,

∴Δy=y2-y1<0,

Δy=y2-y1=g(x2)-g(x1)=λ·-(λ·)

=λ·-()2-[λ·-()2]

=()[λ-()]<0,对于x∈[0,2]恒成立.

∵>0,

∴λ-()<0对于x∈[0,2]恒成立,

即λ<对于x∈[0,2]恒成立.

∵>2,

∴λ≤2.

∴λ的取值范围是(-∞,2].

(3)设t=2x,∵0≤x≤2,

∴1≤2x≤4.

∴1≤t≤4.

y=-t2+λt=-,1≤t≤4.

①当<1,即λ<2时,ymax=λ-1=,

∴λ=;

②当1≤≤4,即2≤λ≤8时,ymax=,

∴λ=[2,8](舍);

③当>4,即λ>8时,ymax=-16+4λ=,

∴λ=<8(舍).综上λ=.