Question

若关于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜4}．
（1）求关于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）的解集；
（2）若关于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）关于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜4}，可知：-

1

2

，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的两个实数根，利用根与系数的关系即可得出a．再对a分类讨论利用一元二次不等式的解法即可得出．
（2）关于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0恒成立，由（1）化为2mx²+（2-m）x-1＜0．当m=0时，即可知道不满足条件；当m≠0时，不等式恒成立，则△＜0，解出即可．

解答： 解：（1）∵关于x的不等式ax²+7x+4＞0的解集是{x|-

1

2

＜x＜4}，
∴-

1

2

，4是一元二次方程ax²+7x+4=0的两个实数根，
∴-

1

2

×4=

4

a

，解得a=-2．
不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0（m≥0）即为-2mx²+（m-2）x+1＞0，化为2mx²+（2-m）x-1＜0．
当m=0时，不等式化为2x-1＜0，解得x＜

1

2

；
当m＞0时，不等式化为（mx+1）（2x-1）＜0，解得-

1

m

＜x＜

1

2

．
∴当m=0时，不等式的解集为{x|x＜

1

2

}；
当m＞0时，不等式的解集为{x|-

1

m

＜x＜

1

2

}．
（2）关于x的不等式 ma•x²+（m+a）x+3+a＞0恒成立，由（1）化为2mx²+（2-m）x-1＜0．
可得：当m=0时，不等式的解集为{x|x＜

1

2

}，不满足条件；
当m≠0时，不等式恒成立，
则△=（2-m）²+8m＜0，化为（2+m）²＜0，解集为∅，
因此实数m的取值范围是∅．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法、分类讨论的思想方法、一元二次方程的根与系数的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．