Question

在△ABC中，

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
（1）若a=2

3

，c=2，求S_△ABC．
（2）求

b-2c

2cos( π 3 +C)

的值．

Answer 1

考点：两角和与差的余弦函数,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）根据数量积公式求，求出角A，利用余弦定理求出b，即可求S_△ABC．
（2）直接带入即可求

b-2c

2cos( π 3 +C)

的值．

解答： 解：（1）∵

m

=（2cosA，

3

sinA），

n

=（cosA，-2cosA），

m

•

n

=-1．
∴

m

•

n

=2cos²A-2

3

sinAcosA=1+cos2A-

3

sin2A=1+2cos（2A+

π

3

）=-1，
即2cos（2A+

π

3

）=-2，cos（2A+

π

3

）=-1，
则2A+

π

3

=π，解得A=

π

3

，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccosA，
即12=b²+4-2b，即b²-2b-8=0，
解得b=4或b=-2（舍），
则S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×4×2×

3

2

=2

3

．
（2）由正弦定理得

a

sinA

=

c

sinC

，则sinC=

csinA

a

=

2× 3 2

2 3

=

1

2

，
∵c＜a，∴C=

π

6

，
则

b-2c

2cos( π 3 +C)

=

4-2×2

2cos( π 3 +C)

=0

点评：本题主要考查正弦定理，余弦定理，三角形面积的计算，利用数量积以及辅助角公式是解决本题的关键，涉及的知识点较多，综合性较强．