Question

甲、乙、丙三人参加某项测试，他们能达标的概率分别是

3

4

，

3

5

，m，且三人能否达标互不影响．
（Ⅰ）若三人中至少有一人达标的概率是

24

25

，求m的值；
（Ⅱ）设甲在3次相互独立的测试中能达标的次数为随机变量ξ，求ξ的概率分布列及数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,离散型随机变量及其分布列

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）设三人中到少有一人达棱为事件A，则1-P（

.

A

）=1-（1-

3

4

）（1-

3

5

）（1-m）=

24

25

，由此能求出m．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能ξ 值为0，1，2，3，分别求出相对应的概率，由此能求出ξ的分布列和Eξ．

解答： 解：（Ⅰ）设三人中到少有一人达棱为事件A，
则1-P（

.

A

）=1-（1-

3

4

）（1-

3

5

）（1-m）=

24

25

，
解得m=

3

5

．
（Ⅱ）由题意知ξ的所有可能ξ 值为0，1，2，3，
P（ξ=0）=

C

0 3

(

1

4

)3=

1

64

，
P（ξ=1）=

C

1 3

(

3

4

)(

1

4

)2=

9

64

，
P（ξ=2）=

C

2 3

(

3

4

)2(

1

4

)=

27

64

，
P（ξ=3）=

C

3 3

(

3

4

)3=

27

64

∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	1 64	9 64	27 64	27 64

Eξ=0×

1

64

+1×

9

64

+2×

27

64

+3×

27

64

=

9

4

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年高考中都是必考题型之一．