Question

【题目】设a、b、c成等比数列，非零实数x，y分别是a与b，b与c的等差中项．
（1）已知 ①a=1、b=2、c=4，试计算 的值；
②a=﹣1、b= 、c=﹣ ，试计算 的值
（2）试推测 与2的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：①a、b、c成等比数列，

非零实数x，y分别是a与b，b与c的等差中项．

可得b2=ac，x= ，y= ，

由a=1、b=2、c=4，

可得x= ，y=3，

即有 = + =2；

②由a=﹣1、b= 、c=﹣ ，

可得x=- ，y= ，

∴ =3﹣1=2

（2）解：由（1）推测 =2．

证明：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac，

∵实数x，y分别是a与b，b与c的等差中项．

∴x= ，y=

∴ =

=

=

【解析】（1）由等差数列和等比数列的中项的性质，可得b2=ac，x= ，y= ，代入a，b，c可得x，y，计算即可得到①②的值；（2）推测 =2．运用等差数列和等比数列的中项的性质，通分化简，运用因式分解，注意运用ac=b2 ， 即可得证．
【考点精析】通过灵活运用基本不等式和等差数列的通项公式（及其变式），掌握基本不等式：,（当且仅当时取到等号）；变形公式：；通项公式：或即可以解答此题．