Question

17．（Ⅰ）已知a+2b+3c=6，求a²+2b²+3c²的最小值．
（Ⅱ）求$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$的最大值．

Answer 1

分析 （I）（II）利用柯西不等式的性质即可得出．

解答 解：（I）∵a+2b+3c=6，
∴根据柯西不等式，得（a+2b+3c）²=（1×a+1×2b+1×3c）²≤（1²+1²+1²）[a²+（$\sqrt{2}$b）²+（$\sqrt{3}$c）²]
化简得6²≤3（a²+2b²+3c²），即36≤3（a²+2b²+3c²）
∴a²+2b²+3c²≥12，
当且仅当a：$\sqrt{2}$b：$\sqrt{3}$c=1：1：1时，即a=$\frac{6}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，b=$\frac{3\sqrt{2}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$，c=$\frac{2\sqrt{3}}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}}$时等号成立．
由此可得：a²+2b²+3c²的最小值为12．
（Ⅱ）y=$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$，由$\left\{\begin{array}{l}{-3x+12≥0}\\{x≥0}\end{array}\right.$，解得0≤x≤4，可得函数y的定义域为[0，4]．
∴y=$\sqrt{3}•\sqrt{-x+4}$+$\sqrt{x}$≤$\sqrt{1+3}$$•\sqrt{-x+4+x}$=4，当且仅当$\sqrt{3}\sqrt{x}$=$\sqrt{-x+4}$，即x=1时取等号．
∴$\sqrt{-3x+12}$+$\sqrt{x}$的最大值为4．

点评 本题考查了柯西不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．