Question

5．某同学在独立完成课本上的例题：“求证：$\sqrt{3}$+$\sqrt{7}$＜2$\sqrt{5}$”后，又进行了探究，发现下面的不等式均成立.$\sqrt{0}+\sqrt{10}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{1.3}+\sqrt{8.7}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{2}+\sqrt{8}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{4.6}+\sqrt{5.4}＜2\sqrt{5}$
$\sqrt{5}+\sqrt{5}≤2\sqrt{5}$
经过认真地分析、尝试，该同学归纳出一个一般性的不等式：$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y∈[0，+∞））．请用合适的方法证明该不等式成立．

Answer 1

分析 运用分析法证明，通过两边平方和完全平方公式，即可得证．

解答 证明：要证：$\sqrt{x}$+$\sqrt{y}$≤2$\sqrt{\frac{x+y}{2}}$（x，y≥0），
两边平方即证x+y+2$\sqrt{xy}$≤2（x+y），
即为x+y-2$\sqrt{xy}$≥0，
即有（$\sqrt{x}$-$\sqrt{y}$）²≥0，
上式显然成立，且当且仅当x=y取得等号．

点评 本题考查归纳思想的运用以及不等式的证明，注意运用分析法证明，考查推理和归纳能力，属于中档题．