Question

7．已知函数f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，g（x）=-$\frac{1}{2}$a（x²-x-2），其中a∈R
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x＞0，不等式f（x+1）＞g（x）恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （I） 求出f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，（x＞0，且x≠1），设μ（x）=x-lnx-1，则${μ}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，由此利用导数性质能求出f（x）单调区间．
（Ⅱ）由已知$φ（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-ax＞0$对x＞0恒成立，$φ'（x）=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$，由此利用分类讨论思想能求出a的取值范围．

解答 解：（I）∵函数f（x）=$\frac{xlnx}{x-1}$，
∴f′（x）=$\frac{（lnx+1）（x-1）-xlnx}{（x-1）^{2}}$=$\frac{x-lnx-1}{（x-1）^{2}}$，（x＞0，且x≠1），
设μ（x）=x-lnx-1，则${μ}^{'}（x）=1-\frac{1}{x}=\frac{x-1}{x}$，
x∈（0，1）时，μ′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，μ′（x）＜0，
∴u（x）在（0，1）上单减，在（1，+∞）上单增，
∴u（x）≥u（1）=0，
∴f（x）的增区间为（0，1），（1，+∞），无单调减区间．（5分）
（Ⅱ）∵?x＞0，f（x+1）＞g（x）成立，
即$φ（x）=ln（{x+1}）+\frac{1}{2}a{x^2}-ax＞0$对x＞0恒成立，
$φ'（x）=\frac{1}{x+1}+ax-a=\frac{{a{x^2}+1-a}}{x+1}$，（6分）
①当0≤a≤1时，φ'（x）≥0，则φ（x）在（0，+∞）上单调递增，
∴φ（x）＞φ（0）=0，满足题意．（8分）
②当a＞1时，令φ'（x）＜0，则$0＜x＜\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上单调递减，∴x∈$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$时，∴φ（x）＜φ（0）=0，不满足题意．（10分）
③当a＜0时，令φ'（x）＞0，则$0＜x＜\sqrt{\frac{a-1}{a}}$，
∴φ（x）在$（0，\sqrt{\frac{a-1}{a}}）$上单调递增，在$（\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$上单调递减．（11分）
取${x_0}=2（1-\frac{1}{a}）∈（\sqrt{\frac{a-1}{a}}，+∞）$时，
当x＞0时，ln（x+1）＜x，
$φ（{x_0}）=ln（{{x_0}+1}）+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}＜{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$，
∴$φ（{x_0}）＜\frac{1}{2}a{x_0}^2+（1-a）{x_0}=\frac{1}{2}a{x_0}[{x_0}-\frac{2（a-1）}{a}]=0$，不满足题意．
综上所述：a的取值范围[0，1]．（14分）
说明：∵$φ（{x_0}）=ln（{{x_0}+1}）+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}＜{x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}$
在x→+∞时，${x_0}+\frac{1}{2}a{x_0}^2-a{x_0}→-∞$，不合题意，学生这样做也可给满分．

点评 本题考查函数的单调区间的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意导数性质、分类讨论思想和构造法的合理运用．