Question

12．如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，BC=6，PA=AD=CD=2，E为BC上一点且BE=$\frac{2}{3}$BC，PB⊥AE．
（1）求证：AB⊥PE；
（2）求二面角B-PC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）推导出PA⊥AE，AE⊥AB．由此能证明AB⊥PE．
（2）以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能求出二面角B-PC-D的余弦值．

解答 证明：（1）∵PA⊥平面ABCD，AE?平面ABCD，
∴PA⊥AE，
又∵PB⊥AE，PB∩PA=P，
∴AE⊥平面PAB，又∵AB?平面PAB，
∴AE⊥AB．
又∵PA⊥AB，PA∩AE=A，
∴AB⊥平面PAE，
又∵PE?平面PAE，
∴AB⊥PE．…（6分）
解：（2）以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
则B（2$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，2），C（-$\sqrt{3}$，3，0），D（-$\sqrt{3}$，1，0），
∴$\overrightarrow{BC}$=（-3$\sqrt{3}$，3，0），$\overrightarrow{PC}$=（-$\sqrt{3}$，3，-2），$\overrightarrow{DC}$=（0，2，0）．
设平面PBC的一个法向量$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BC}=-3\sqrt{3}x+3y=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{PC}=-\sqrt{3}x+y-2z=0}\end{array}\right.$，令x=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$）．
同理可求平面PCD的一个法向量$\overrightarrow{n}$=（2，0，-$\sqrt{3}$）．
∴cos?m，n＞=$\frac{m•n}{|m||n|}$=$\frac{-1}{\sqrt{7}•\sqrt{7}}$=-$\frac{1}{7}$．
∵二面角B-PC-D为钝二面角，
∴二面角B-PC-D的余弦值为-$\frac{1}{7}$．…（12分）

点评 本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．