Question

17．已知函数f（x）=x+$\frac{1}{x-a}$+$\frac{1}{x-b}$（a，b为实常数）．
（Ⅰ）若a+b=0，判断函数f（x）的奇偶性，并加以证明；
（Ⅱ）记M=$\left\{\begin{array}{l}{a，b＜a}\\{b，b≥a}\end{array}\right.$，A=$\frac{a+b}{2}$，求实数λ的取值范围，使得方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在区间（M，+∞）上无解．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用奇函数的定义，即可证明结论；
（Ⅱ）不妨设a≤b，则M=b，x-A＞0，方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A等价于[x-A+$\frac{2（x-A）}{（x-a）（x-b）}$]（x-A）=λ．令$\frac{b-a}{2}$=d，t=（x-A）²＞$（\frac{b-a}{2}）^{2}$=d²＞0，则$\frac{{t}^{2}+（2-{d}^{2}）t}{t-{d}^{2}}$=λ．令u=t-d²，则λ=u+$\frac{2{d}^{2}}{u}$+2+d²≥2$\sqrt{2}$d+2+d²=$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）易知函数定义域关于原点对称．
∵a+b=0，∴$f（x）=x+\frac{1}{x-a}+\frac{1}{x+a}$$f（-x）=-x+\frac{1}{-x-a}+\frac{1}{-x+a}=-f（x）$
∴f（x）为奇函数； …（5分）
（Ⅱ）不妨设a≤b，则M=b，x-A＞0，方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A等价于[x-A+$\frac{2（x-A）}{（x-a）（x-b）}$]（x-A）=λ．
令$\frac{b-a}{2}$=d，则x-a=（x-A）=d，x-b=（x-A）+d，
∴（x-A）²[1+$\frac{2}{[（x-A）-d]•[（x-A）+d]}$=λ，
令t=（x-A）²＞$（\frac{b-a}{2}）^{2}$=d²＞0，则$\frac{{t}^{2}+（2-{d}^{2}）t}{t-{d}^{2}}$=λ．
令u=t-d²，则λ=u+$\frac{2{d}^{2}}{u}$+2+d²≥2$\sqrt{2}$d+2+d²=$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$，
当且仅当u=$\frac{2{d}^{2}}{u}$，即t=$\sqrt{2}d+{d}^{2}$，x=$\frac{b+a}{2}+\frac{\sqrt{（b-a）^{2}+2\sqrt{2}（b-a）}}{2}$∈（b，+∞）时取等号，
∵方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在区间（M，+∞）上无解，
∴λ＜$（\frac{b-a}{2}+\sqrt{2}）^{2}$．

点评 本题考查奇函数的定义，考查方程f（x）=$\frac{λ}{x-A}$+A在区间（M，+∞）上无解，考查学生转化问题的能力，难度大．