Question

8．设a＞1，若关于x的方程a^x=x无实根，则实数a的取值范围为$（{e^{\frac{1}{e}}}，+∞）$．（用区间表示）

Answer 1

分析 先将关于x的方程a^x=x，再画出a＞1时函数y=a^x，y=a的图象，根据图象求解函数的导数求出最小值大于0，利用对数运算法则化简求解即可．

解答 解：据题意，关于x的方程a^x=x无实根．
函数y=a^x，的图象与直线y=x没有的交点．
a＞1时：如图：

方程a^x=x，即a^x-x=0，令y=a^x-x
函数y′=a^xlna-1，函数的极值点为：x=$lo{g}_{a}ln{a}^{-1}$，并且是最小值点，必须${a}^{lo{g}_{a}ln{a}^{-1}}-lo{g}_{a}ln{a}^{-1}＞0$，可得：$ln{a}^{-1}＞\frac{lnln{a}^{-1}}{lna}$，即1＞lnlna^-1，任意x使得lna^-1＜e，a^-1＜e^e，∴a＞${e}^{\frac{1}{e}}$．
则实数a的取值范围为 （${e}^{\frac{1}{e}}$，+∞）
故答案为：$（{e^{\frac{1}{e}}}，+∞）$．

点评 本题主要考查函数的导数的应用，函数的最值以及极值的求法，对数的运算法则的应用，考查数形结合，转化思想的应用，考查计算能力．