Question

16．已知函数f（x）=2x³+bx²+cx，其导函数y=f′（x）的图象（如图所示）经过点（1，0），（2，0）．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）-m=0恰有2个根，求m的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据图象可得得f'（x）=6x²+2bx+c=0的解为x=1，x=2，根据根与系数的关系，联立方程组求解即可；
（Ⅱ）根据导数求出函数的单调区间，求出相应函数值，即可求实数m的值．

解答 解：（Ⅰ）依题意，可得f'（x）=6x²+2bx+c=0的解为x=1，x=2，
故$\left\{\begin{array}{l}1+2=-\frac{b}{3}\\ 1×2=\frac{c}{6}.\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}b=-9\\ c=12.\end{array}\right.$
所以f（x）=2x³-9x²+12x．
（Ⅱ）f'（x）=6x²-18x+12=6（x-1）（x-2），
当f'（x）＞0时，x＜1或x＞2；
当f'（x）＜0时，1＜x＜2．
所以函数f（x）的单调增区间为（-∞，1）和（2，+∞），单调减区间为（1，2），
当x=1时，f（x）_极大=5，当x=2时，f（x）_极小=4．
故方程f（x）-m=0恰有2个根，得m=4或m=5．

点评 本题主要考查了利用导数研究函数的极值、单调性，以及观察图形的能力，属于中档题．