Question

7．已知函数f（x）=-$\frac{1}{3}$x³+x²+ax+b在x=3取得极值为4，则f（x）在区间[-2，1]上的最大值为（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． -$\frac{4}{3}$
• D． -$\frac{13}{3}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，利用函数的极值求出a，b，然后判断函数的单调性，求解函数在闭区间上的最值即可．

解答 解：f'（x）=-x²+2x+a，由题意知$\left\{\begin{array}{l}f'（3）=0\\ f（3）=4\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}-9+6+a=0\\-\frac{1}{3}×27+{3^2}+3a+b=4\end{array}\right.$，解答$\left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-5\end{array}\right.$．
∴$f（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}+3x-5$，f'（x）=-x²+2x+3，
由f'（x）=-x²+2x+3=0得x=-1，x=3，
∴函数f（x）在区间[-2，-1]递减，在区间[-1，1]递增．
又$f（1）=-\frac{4}{3}$，$f（-1）=-\frac{13}{3}$，
所以 f（x）在区间[-2，1]上的最大值为$-\frac{4}{3}$．
故选：C．

点评 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的应用，考查转化思想以及计算能力．