Question

13．如图，已知四棱锥P-ABCD中，△PAD是边长为a的正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点，F是PB的中点．
（1）求证：EF∥平面PCD．
（2）求二面角B-EC-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PC的中点M，连结FM，DM，可证明四边形DEFM是平行四边形，于是EF∥DM，故而EF∥平面PCD；
（2）以E为原点，以EB，EA，EP为坐标轴建立空间直角坐标系，求出两平面的法向量$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$，则|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|即为所求．

解答 证明：（1）取PC的中点M，连结FM，DM，
∵F是PB的中点，M是PC的中点，
∴FM∥BC，FM=$\frac{1}{2}$BC，
∵四边形ABCD是菱形，E是AD的中点，
∴DE∥BC，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DE∥FM，DE=FM．
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴EF∥DM，又EF?平面PCD，DM?平面PCD，
∴EF∥平面PCD．
（2）∵△PAD是边长为a的正三角形，E是AD的中点，
∴PE⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PE?平面PAD，
∴PE⊥平面ABCD，
∵四边形ABCD是菱形，∠DAB=60°，E是AD的中点，
∴BE⊥AD．
以E为原点，以EB，EA，EP为坐标轴建立空间直角坐标系如图所示：
则E（0，0，0），B（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，0，0），P（0，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），C（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-a，0），F（$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$a）．
∴$\overrightarrow{EC}$=（$\frac{\sqrt{3}}{2}$a，-a，0），$\overrightarrow{EF}$=（$\frac{\sqrt{3}}{4}$a，0，$\frac{\sqrt{3}}{4}$a）．
设平面ECF的法向量为$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EF}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{EC}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{\sqrt{3}}{4}ax+\frac{\sqrt{3}}{4}az=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{2}ax-ay=0}\end{array}\right.$，
令x=1得$\overrightarrow{n}$=（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
又PE⊥平面ABCD，∴$\overrightarrow{m}$=（0，0，1）为平面BCE的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{-1}{\frac{\sqrt{11}}{2}×1}$=-$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．
由图可知二面角B-EC-F为锐角，
∴二面角B-EC-F的余弦值为$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．

点评 本题考查了线面平行的判定，空间向量的应用与二面角的计算，属于中档题．