Question

17．甲、乙两地相距600千米，一辆货车从甲地匀速行驶到乙地，规定速度不超过100千米/小时．已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米/小时）的平方成正比，比例系数为0.02；固定部分为m元．
（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米/小时）的函数，并指出这个函数的定义域；
（2）为了使全程运输成本最小，货车应以多大速度匀速行驶？

Answer 1

分析 （1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；
（2）利用基本不等式a+b≥2$\sqrt{ab}$，（a=b时取得等号），可得v=80千米/时，全程运输成本最小．

解答 解：（1）依题意知货车从甲地匀速行驶到乙地所用时间为$\frac{600}{v}$，
全程运输成本为y=（0.02v²+m）×$\frac{600}{v}$=12v+$\frac{600m}{v}$，（0＜v＜100）；
（2）当12v=$\frac{600m}{v}$时，即v=5$\sqrt{2m}$．
①当5$\sqrt{2m}$≤100时，即0＜m≤200时，y_min=12×5$\sqrt{2m}$+$\frac{600m}{5\sqrt{2m}}=120\sqrt{2m}$．
②$当5\sqrt{2m}＞100，即m＞200$时，${y}_{min}=12×100+\frac{600m}{100}=1200+6m$．
综上：0＜m≤200时，货车应以5$\sqrt{2m}$千米/小时速度匀速行驶，全程运输成本最小为120$\sqrt{2m}$，．
m＞200时，货车应以100千米/小时速度匀速行驶，全程运输成本最小为1200+6m

点评 题考查函数模型的构建，考查基本不等式的运用，解题的关键是构建函数模型，利用基本不等式求最值．